5/5. Устойчивые области. Если а есть состояние равновесия, то Т{а), как мы видели в  5/3, есть просто а.

Таким образом, преобразование Т не породило из а никакого нового состояния.

То же самое явление может иметь место и для множества состояний. Так, предположим, что Т есть (незамкнутое) преобразование

T:		a	b	c	d	e	f	g	h
		p	g	b	f	a	a	b	m

Оно не имеет состояний равновесия, но множество, состоящее из b и g, преобразуется по-особенному, а именно

T:		b	g
		g	b

Другими словами, применение Т к этому множеству не порождает новых состояний. Такое множество устойчиво относительно Т.

Рис, 5/5/1.

Это отношение между множеством состояний и преобразованием, конечно, тождественно описанному выше ( 2/4) отношению <замкнутости>. (Слова <устойчивое множество> могли бы употребляться еще с тех пор, но они могли внести путаницу, пока не было введено понятие устойчивости; а этого нельзя было сделать раньше, чем были разъяснены другие вопросы.)

Если преобразование непрерывно, устойчивое множество преобразований может лежать в связной области. Так, на рис. 5/5/1 область внутри границы А устойчива; область же внутри В неустойчива, ибо внутри этой области есть точки, такие как Р, из которых можно выйти за пределы области.

Понятие замкнутости, или устойчивого множества состояний, имеет фундаментальное значение для наших исследований. Некоторые причины этого приводились в  3/2, где указывалось, что только в том случае, когда множество устойчиво, преобразование может иметь все свои высшие степени.

Другая причина более подробно рассматривается в  10/4, где показывается, что такая устойчивость тесно связана с понятием объекта, <выживающего> после некоторой операции.

Упр. 1. Какие еще множества устойчивы относительно Т?

Упр. 2. Всегда ли устойчиво множество состояний в бассейне?

Упр. 3. Всегда ли устойчиво множество состояний в цикле?  

Упр. 4. Если множество состояний устойчиво относительно Т и относительно U, то обязательно ли оно устойчиво относительно UT?