Изоморфные машины

ИЗОМОРФНЫЕ МАШИНЫ 6/8. Исследование <черного ящика>, таким образом, может дать экспериментатору информацию лишь до определенного предела; превысить этот предел при заданных входах и выходах невозможно. Сколько именно инфор-мации может быть получено, будет рассмотрено в 13/15 (особенно в последнем упражнении). Здесь достаточно отметить, что каноническое представление определяет или задает механизм с <точностью до изоморфизма>.

<Изоморфный>, грубо говоря, означает <подобный по форме>. Это весьма широкое понятие, имеющее первостепенную важность для всякого, кто хочет точно исследовать вопросы, в которых играет роль <форма>. Рассмотрим сначала несколько примеров просто для того, чтобы проиллюстрировать основные идеи.

Фотографический негатив и отпечаток с него изоморфны, поскольку речь идет о форме рисунка. Квадраты на негативе выглядят квадратами на отпечатке, круги выглядят кругами, параллельные линии остаются параллельными линиями. Таким образом, некоторые отношения между частями, существующие на негативе, появляются на отпечатке в виде тех же самых отношений, хотя в том, что касается освещенности, они выглядят теперь иначе и, более того, прямо противоположно. Таким образом, операция изменения негатива в отпечаток оставляет эти отношения без изменения (ср.  5/2).

Карта и местность, которую она изображает, изоморфны (если карта точна!). Отношения на местности, например то, что города А, В и С образуют равносторонний треугольник, остаются неизменными на карте, где точки, изображающие А, В и С, также образуют равносторонний треугольник.

Форма не обязательно должна восприниматься зрительно. Если бросить камень вертикально вверх с начальной скоростью 15 м/сек, то будет существовать изоморфизм между множеством точек в воздухе, проходимых камнем, который в момент t находится на высоте h, и множеством точек на графике, удовлетворяющих уравнению

Линии, по которым воздух (на дозвуковых скоростях) обтекает профиль крыла, имеют форму, тождественную с формой линий, по которым электрический ток в проводящей жидкости обтекает непроводник того же контура, что и крыло. Две эти формы одинаковы, хотя их физические основы различны.

Другой пример изоморфизма стоит рассмотреть подробнее. На рис. 6/8/1 изображены две динамические .системы, каждая со входом и выходом. В верхней системе входом является левая ось I; она может быть повернута в любое положение, показанное на циферблате и. Пружиной S она связана с маховиком М, жестко связанным с выходным валом О. Степень поворота О показывается на циферблате v, который является выходом вала. Маховик М погружен в корытце с жидкостью F, благодаря чему к колесу прикладывается сила трения, пропорцио- нальная скорости колеса. Если теперь при заданных начальных условиях вход и будет проходить определенную последовательность значений, то выход v также пройдет определенную последовательность значений, зависящую от начального состояния выхода v, от скорости изменения выхода v в начальный момент и от последовательности состояний входа и.

Рис. 6/8/1.

Нижняя система - электрическая. Входом ее служит потенциометр или другой прибор /, создающий напряжение, показанное на шкале х. К нему последовательно присоединена индуктивность L, сопротивление R и емкость С. Через Р обозначен электрический счетчик (какой устанавливается в жилых квартирах), отмечающий общее количество прошедшего по нему тока. Это количество показывается на шкале у, которая является выходом счетчика.

Если теперь подобрать значения L, R и С так, чтобы они соответствовали упругости пружины, инерции махо- вика и трению в F (хотя и не в этом порядке), то обе системы могут обнаружить замечательное функциональное тождество. Пусть сначала они обе находятся в состоянии покоя. Приложим к и любую входную последовательность значений, сколь угодно длинную и произвольную, и получим в v выходную последовательность равной длины; если та же самая последовательность значений задана в х, то выход в у в течение всей своей длительности будет тождествен выходу в v. Попробуем приложить к и другую последовательность значений и запишем то, что появится в и\ тот же самый вход, приложенный к х, даст в у копию выхода в и. Закроем центральные части механизмов - и обе машины невозможно будет различить даже при бесконечном числе испытаний. Таким образом, машины могут обнаруживать глубочайшее сходство в поведении, будучи с других точек зрения совершенно различны.

Но это еще не все. Математикам хорошо известны уравнения типа

с помощью которых - если дан график, показывающий изменение w со временем (/), - можно найти изменения г, вызываемые изменениями w. Ясно, что w можно рассматривать как <вход> уравнения, a z - как его <выход>. Если теперь коэффициентам а, b и с дать значения, подходящим образом связанные с L, R, S и т. д., то зависимость между w и z становится тождественной зависимости между а и и, как и зависимости между х и у. Все три системы изоморфны.

Теперь становится очевидным огромное практическое значение изоморфизма. Предположим, что возникла задача: как будет вести себя описанная выше механическая система при определенных условиях? Дан вход и, требуется определить поведение v. Реальная механическая система может оказаться неудобной для непосредственного исследования: она, скажем, слишком массивна, или малодоступна, или даже еще не изготовлена. Но если под рукой имеется математик, то ответ дается легко и быстро: математик находит выход z приведенного выше дифференциального уравнения при входе ш. В этом случае принято говорить о решении задачи из математической физики. Однако следует заметить, что рассматриваемый процесс по существу является не чем иным, как использованием карты - использованием удобного изоморфного представления вместо неудобной реальности.
Может случиться так, что под рукой нет математика, но есть электрик. И в этом случае можно применить тот же самый принцип. Собирается электрическая система, задается вход в х и читается выход на у. Это обычно называется <построением электрической модели>.

Ясно, что ни одна из этих трех систем не имеет особых преимуществ; любая из них может заменить две другие.

Так, если инженер хочет решить дифференциальное уравнение, то иногда он может найти ответ быстрее, построив электрическую систему и читая решение на у.

В этом случае говорят, что он <построил аналоговую вычислительную машину>. В других случаях более удобной формой вычислительной машины может оказаться механическая система. Большая универсальная цифровая вычислительная машина замечательна именно тем, что при соответствующем программировании она может стать изоморфной любой динамической системе.

Таким образом, использование изоморфных систем -обычное и важное явление. Оно важно потому, что большинство систем имеет как трудные, так и легкие для изучения участки. Когда экспериментатор доходит до трудного участка исследуемой системы, то при наличии изоморфной формы может случиться, что соответствующий участок в этой новой форме будет гораздо легче для понимания, или управления, или изучения. И опыт показал, что возможность перейти к изоморфной форме хотя и не дает абсолютно надежных результатов (ибо изоморфизм может сохраняться лишь в пределах определенной области), но тем не менее оказывает в высшей степени полезную и практическую помощь экспериментатору. В науке она используется повсеместно.