ГЛАВА 3. Векторы

3/6. Обозначения. Последнее упражнение показывает, насколько громоздкими могут стать описания, если пользоваться только словами. Преобразование F в действительности состоит из трех подпреобразований, применяемых одновременно, т. е. всегда вместе. Например, первое подпреобразование действует на левое число, изменяя его последовательно: и т. д. Обозначим эти три составляющие через а, b и с. Тогда можно сказать, что преобразование F, действующее на вектор (а, b, с), эквивалентно одновременному действию трех подпреобразований, каждое из которых действует только на одну составляющую, а именно:

Здесь а' = b означает, что новое значение a, т. е. левого числа образа, равно среднему числу операнда и т. д. Приведем несколько иллюстраций этого нового метода; он не включает никаких новых идей, а только новые манипуляции с символами. (Советуем читателю проделать все упражнения, так как в них выступают многие важные черты, не упоминаемые в других местах.)

Упр. 1. Пусть операнды имеют вид (а, b) и один из них есть
(1/2, 2); найдите векторы, образуемые повторным применением к нему преобразования
 

 [Указание; найдите и т. д.]

Улр. 2. Пусть операнды суть векторы вида (v, w, х, у, z) и U есть

Найдите U(a), где a = (2,1,0,2,2).

Упр. 3. (Продолжение.) Начертите кинематический график преобразования 0, если единственные его операнды суть a, и т. д.

Упр. 4. (Продолжение.) Как изменится график, если добавить другие операнды?

Упр. 5. Найдите образ от (3,-2, 1) для A, если дан общий вид векторов (g, h, j) и преобразование

Упр. 6. Артур и Билл решили сыграть в азартную игру. Каждый делит свои деньги пополам и по сигналу судьи передает одну половину другому игроку. Затем каждый снова делит все имеющиеся у него теперь деньги пополам и по сигналу передает половину другому и т. д. Артур начал с 8 шиллингами, а Билл - с 4 шиллингами. Представьте начальный операнд вектором (8, 4). Найдите любым доступным вам способом все последующие образы.

Упр. 7. (Продолжение.) Выразите преобразование уравнениями, как выше, в упр. 5.

Упр. 8. (Продолжение.) Чарлз и Давид решили сыграть в такую же игру, но с тем, чтобы передавать партнеру половину того, что партнер имеет. Если они начали соответственно с 30 шиллингами и 34 шиллингами, что произойдет с этими числами?

Упр. 9. (Продолжение.) Выразите преобразования уравнениями, как в упр. 5.

Упр. 10. Если в упр. 8 начать с других сумм денег, кто в общем случае должен выиграть?

Упр. 11. В аквариуме два вида микроорганизмов: хищники и их жертвы. Каждый день каждый хищник уничтожает одну жертву и делится на двух хищников. Сегодня в аквариуме m жертв и n хищников. Выразите изменение их численности с по-мощью преобразования.

Упр. 12. (Продолжение.) Что является операндом этого преобразования?

Упр. 13. (Продолжение.) Допустим, что начальное состояние было (150, 10); найдите, как оно изменялось за первые четыре дня.

Упр. 14. Некий маятник качается приблизительно в соответствии с преобразованием х' = 1/2 (х - у), у' = 1/2 (х + у), где х - угол его отклонения от вертикали; у - его угловая скорость; х' и у' - их значения через 1 сек. Начальное состояние (10, 10); найдите изменение угла отклонения через каждую секунду за первые 8 сек. (Указание: найдите х', х", х'" и т. д.; можно ли найти их, не вычисляя у', у" и т. д.?)

Упр. 15. (Продолжение.) Начертите обычный график (с осями х и t) показывающий изменение х во времени. Имеется ли трение в этом маятнике?

Упр. 16. В некоторой экономической системе вводится новый закон, согласно которому заработная плата повышается ежегодно на столько шиллингов, на сколько процентов индекс цен превышает 100%. Экономическое влияние заработной платы на индекс таково, что в конце каждого года индекс цен равняется уровню заработной платы в начале года. Выразите изменение уровня заработной платы и индекса цен за год с помощью преобразования.

Упр. 17. (Продолжение.) Если нынешний год начался с заработной платы 110 шиллингов и с индексом цен 110%, найдите их значения за следующие 10 лет.

Упр. 18. (Продолжение.) Начертите обычный график изменения цен и заработной платы. Удовлетворителен ли данный закон?

Упр. 19. (Продолжение.) Система затем меняется так, что ее преобразование будет . Новая система начинает действовать при заработной плате и ценах, равных 110. Рассчитайте, что произойдет за ближайшие 10 лет.

Упр. 20. (Продолжение.) Начертите обычный график изменения заработной платы и цен.

Упр. 21. Сравните графики упр. 18 и упр. 20. Как можно описать их различие в терминах экономики?

Упр. 22. Если система из упр. 19 будет внезапно нарушена, так что заработная плата упадет до 80, а цены вырастут до 120, а затем вмешательство прекратится, что произойдет в ближайшие 10 лет? [Указание: примите (80, 120) за операнд.)

Упр. 23. (Продолжение.) Начертите обычный график, показывающий изменение заработной платы и цен после нарушения.

Упр. 24. Является ли взаимно однозначным преобразование Т между векторами ?

 [Указание: если дан вектор , то однозначно ли определяется вектор () и наоборот?)

Упр. 25. Начертите кинематический график системы с 9 состояниями, в которой составляющими являются вычеты

(mod 3).

Сколько бассейнов в этом графике?