ГЛАВА 3. Детерминированные машины

3/4. Машина и преобразование. Параллелизм между машиной и преобразованием выступает всего яснее, когда мы сравниваем поведение машины, где состояние сменяет состояние, с кинематическим графиком (2/17), где стрелки ведут от элемента к элементу. Если данная машина и данный график обнаруживают полное соответствие, то нетрудно видеть, что:

1)     Каждое возможное состояние машины однозначно соответствует некоторому элементу на графике и обратно. Соответствие здесь взаимно однозначно.

2)     Каждая последовательность состояний, проходимая машиной в силу ее внутренней динамической природы, соответствует непрерывной цепи стрелок, соединяющих соответствующие элементы.

3)     Если машина, придя в некоторое состояние,, остается в нем (состояние равновесия, 5/3), то этому состоянию будет соответствовать элемент без выходящей из него стрелки (или с возвратной стрелкой, 2/17).

4)     Если машина вступает в регулярно повторяющийся цикл состояний, то стрелки, проходящие через соответствующие элементы на графике, образуют кольцо.

5)     Остановка машины экспериментатором и возобновление работы из нового, произвольно выбранного состояния соответствуют на графике перемещению представляющей точки из одного элемента в другой, если это перемещение осуществляется произвольным действием математика, а не согласно указаниям стрелок.

Когда существует такое соответствие между реальной машиной и преобразованием, преобразование называется каноническим представлением машины, а о машине говорят, что она воплощает преобразование.

Упр. 1. В питательную среду помещена тысяча бактерий; число их n удваивается каждые полчаса. Напишите соответствующее преобразование.

Упр. 2. (Продолжение.) Найдите n после 1-го, 2-го, 3-го, ...> 6-го шагов.

Упр. 3. (Продолжение.) (I) Начертите обычный график с двумя осями, показывающий изменение числа бактерий во времени. (II) Начертите кинематический график изменения состояний системы.

Упр. 4. Питательная среда содержит 109 бактерий и дезинфицирующее средство, которое в каждую минуту убивает 20% оставшихся бактерий. Выразите изменение числа оставшихся бактерий через преобразование.

Упр. 5. (Продолжение.) (I) Найдите число оставшихся бактерий после 1, 2, 3, 4, 5 минут. (II) К какому пределу стремится число бактерий с неограниченным течением времени?

Упр. 6. Начертите кинематический график преобразования, в котором n' есть округленная правая цифра lg(n + 70) в четы-рехзначной таблице логарифмов. Как будет вести себя соответствующая машина?

Упр. 7. (Продолжение: пусть 70 заменено на 90.)

Упр. 8. (Продолжение: пусть 70 заменено на 10). Сколько бассейнов в этом графике?

Упр, 9. Каждые 10 лет население страны уменьшается на 10%, но за это же время прибавляется миллион эмигрантов. Выра-зите изменение от десятилетия к десятилетию через преобразование, принимая, что изменения совершаются конечными шагами.

Упр. 10. (Продолжение.) Если страна имеет двадцать миллионов жителей, каково будет ее население через каждое из трех последующих десятилетий?

Упр. 11. (Продолжение.) Найдите любым способом, при какой величине население будет постоянным. (Указание: когда на-селение <стационарно>, каково отношение между численностью его в начале и в конце десятилетия? Каково соотношение между операндом и образом?)

Упр. 12. Растущий головастик увеличивается в длину каждый день на 1,2 мм. Выразите это через преобразование.

Упр. 13. Примем, что бактерии в культуре растут посредством простого превращения пищи в бактерии; например, если сначала было достаточно пищи для 108 бактерий, а теперь число бактерий равно п, то остающаяся пища пропорциональна 108 - п. Если сохраняется закон массового действия, то число бактерий будет возрастать за каждый интервал пропорционально произведению: (число бактерий) X (количество оставшейся пищи). В рассматриваемой культуре число бактерий увеличивается каждый час в 10-8n (108 - n) раз. Выразите изменение от часа к часу через преобразование.

Упр. 14. (Продолжение.) Пусть культура содержит в данный момент 10 000 000 бактерий; найдите число их через 1, 2, ...,5 часов.

Упр. 15. (Продолжение.) Начертите обычный график с двумя осями, показывающий изменение числа бактерий во времени.