3/1. Установив ясные понятия о преобразованиях, мы можем перейти к их первому применению - к установлению точного параллелизма между описанными здесь свойствами преобразований и свойствами реально существующих машин и динамических систем.

О наилучшем определении <машины> можно, конечно, много спорить. Детерминированная машина определяется как машина, которая ведет себя так же, как замкнутое однозначное преобразование. Это определение оправдывается просто тем, что оно <работает> ; оно дает нам то, что нам нужно, и нигде не противоречит грубо тому, что мы интуитивно считаем разумным.

Действительное оправдание заключается не столько в соображениях, высказанных в этом параграфе, сколько в дальнейшем содержании книги и, может быть, в дальнейших новых исследованиях.

Заметим, что наше определение говорит о способе поведения, а не о материальной вещи. В этой книге мы занимаемся теми особенностями систем, которые являются детерминированными, т. е. в своем изменении следуют регулярным и воспроизводимым путям. Мы будем изучать детерминированность, а не материальную субстанцию (этот вопрос затрагивался выше, в гл. 1).

В части I мы будем рассматривать детерминированные машины, и все соотносимые с ними преобразования будут однозначны. Лишь начиная с 9/2 мы будем рассматривать более общий тип, детерминированный лишь в статистическом смысле.

Второе ограничение относится к этой главе. Здесь будут рассматриваться только изолированные машины, т. е. машины, на которые ничто активно не воздействует.

Простым и типичным примером детерминированной машины может служить тяжелая железная рама со множеством тяжелых шаров, соединенных друг с другом и с рамой пружинами. Если при неизменных условиях повторно приводить шары в некоторое определенное положение, а затем освобождать, то их движения будут каждый раз теми же самыми, т. е. будут следовать тому же самому пути. Вся система, .приведенная в данное начальное <состояние> , будет повторно проходить одну и ту. же последовательность состояний.

Под состоянием системы понимается точно определенное условие или свойство, которое может быть опознано, если повторится снова. Каждая система, естественно, имеет много возможных состояний.
Когда шары освобождаются, их положения (Р) претерпевают ряд изменений: ,:; эта точка зрения сразу же соотносит систему с преобразованием

Ясно, что операнды преобразования соответствуют состояниям системы.
Последовательность положений, принимаемых системой во времени, соответствует последовательности элементов, порождаемых последовательными степенями преобразования (2/14). Такая последовательность состояний определяет траекторию, или линию поведения.

То обстоятельство, что детерминированная машина из одного состояния не может перейти сразу в два других состояния, соответствует требованию однозначности преобразования.
Рассмотрим теперь для начала еще несколько примеров, учитывая усложнения по мере их появления.

в только что привитой бактериологической культуре возрастает от часа к часу. Если сначала это число удваивается через каждый час, то в этот начальный период оно будет изменяться от часа к часу так же, как изменяется n при последова-тельных степенях преобразования n' = 2n'.

Если рост организма до некоторой степени непостоянен, то поведение системы, т. е. выбор состояния, которое должно последовать за данным состоянием, становится более или менее неопределенным. Таким образом, <детерминированность> реальной системы соответствует однозначности образа данного операнда при преобразовании.

Рассмотрим, далее, часы, исправные и заведенные; сейчас их стрелки указывают на какое-то место на циферблате, а через заданное время эти стрелки будут указывать на другое определенное место. Положения стрелок соответствуют элементам преобразования. Однократное преобразование соответствует прохождению единицы времени; оно, очевидно, будет иметь вид n' = n + k.

В этом случае действующий <оператор> по существу не определим, ибо оно не имеет ясных или естественных границ. Он включает все, что заставляет часы идти: часовую пружину (или силу тяжести), твердость металла, из которого изготовлены колеса, смазку осей, свойства стали, взаимодействие атомов железа и т. д. - определенной границы здесь нет. Как было сказано в 2/3, <оператор> часто определяется неточно и до некоторой степени произволен. Это понятие мало пригодно к использованию в науке. Однако преобразование определяется вполне точно, ибо оно относится только к фактам изменений, а не к их более или менее гипотетическим причинам.

В биологическом мире не так легко найти столь же регулярную последовательность изменений, как в случае с часами, но регулярное протекание некоторых болезней обнаруживает некоторые аналогичные черты. Так, во времена, когда еще не применялись сульфонамиды, легкое при долевой пневмонии в типичном случае проходило следующий ряд состояний: заражение - внедрение (consolidation) - красное опеченение - серое опечененйе - разрешение - выздоровление (1). Такая последовательность состояний соответствует точно определенному преобразованию, хотя и не числовому.

Далее, рассмотрим чугунную отливку, нагретую таким образом, что разnичные ее части имеют разnичную, но определенную температуру. Если условия не изменяются, то эти температуры будут изменяться во времени определенным образом. Состоянием отливки в каждый данный момент будет некоторое множество температур (вектор, 3/5), а переход из одного состояния в другое будет соответствовать действию преобразования, превращающего операнд So последовательно в и т. д.

Более сложный пример, наглядно показывающий, что точно определенное преобразование не обязательно должно быть числовым, представляют некоторые формы рефлекторного поведения животных. Так, самец и самка трехиглой колюшки вместе с некоторыми частями окружающей среды образуют детерминированную динамическую систему. Тинберген (в своем <Исследовании инстинкта> ) следующим образом описывает последовательные состояния этой системы: <Каждая реакция как самца, так и самки вызывается предшествующей реакцией партнера. Каждая стрелка на приводимой ниже диаграмме соответствует причинному отношению, существование которого было доказано в опытах с манекенами. Первая реакция самца, зигзагообразный танец, вызывается зрительным стимулом от самки, в котором играют роль знаковые возбудители: <вздувшееся брюшко> и особые движения.

Самка реагирует на красный цвет самца и его зигзагообразный танец тем, что плывет прямо к нему. Это движение заставляет самца повернуться и быстро плыть к гнезду. Это, в свою очередь, побуждает самку плыть за ним, тем самым побуждая самца указать головой вход в гнездо. Его поведение вызывает следующую реакцию самки: она заплывает в гнездо... Это опять-таки возбуждает у самца реакцию в виде дрожи, что вызывает метание икры самкой. Присутствие свежих икринок заставляет самца оплодотворить их>.

1 В настоящее время установлено, что красное опеченение и серое опеченение являются не двумя последовательными стадиями, а двумя разnичными формами протекания болезни. Ср. Мясников А. Л., Пропедевтика внутренних болезней, М., 1957. Прим.перев.

Тинберген следующим образом суммирует смену состояний:

Мы видим, что он дает описание типичной траектории. Вряд ли нужны дальнейшие примеры, ибо различные отрасли науки, к которым применяется кибернетика, дают изобилие примеров, и каждый читатель сможет подобрать примеры, близкие к его собственной специальности.

Соотнося машину и преобразование, мы вступаем в ту дисциплину, которая соотносит поведение реальных физических систем со свойствами символических выражений, написанных пером на бумаге. Весь предмет <математической физики> есть часть этой дисциплины. Однако методы, используемые в этой книге, несколько шире по охвату, ибо математическая физика тяготеет к преимущественному рассмотрению непрерывных и линейных систем ( 3/7). Это ограничение делает ее методы почти неприменимыми к биологическим вопросам, ибо в биологии системы почти всегда нелинейны, часто разрывны и во многих случаях даже не являются измеримыми, т. е. выразимыми в числах. Приводимые ниже упражнения ( 3/4), расположенные в определенной последовательности, показывают постепенный переход от наиболее общих методов, используемых в этой книге, к тем, которые обычно используются в математической физике. Эти упражнения важны также как иллюстрации соответствия между преобразованиями и реальными системами.

Подведем итоги. Каждая машина или динамическая система имеет много различимых состояний. Если это - детерминированная машина, то фиксация влияющих на нее условий и состояний, в которых она находится, определит, т. е. сделает единственным, следующее состояние, в которое она перейдет. Эти переходы состояний соответствуют переходам операндов при преобразовании. Каждое состояние соответствует некоторому операнду, и каждое следующее состояние, в которое переходит машина, соответствует образу этого операнда. Последовательные степени преобразования соответствуют в машине протеканию двух, трех и т. д. единиц времени перед записью очередного состояния. А поскольку детерминированная машина не может переходить сразу в два состояния, соответствующее преобразование должно быть однозначным.

Упр. Назовите два состояния, относящиеся друг к другу как операнд и образ, рассматривая как оператор время и выбирая динамическую систему из области: а) приготовления пищи; b) разжигания огня; с) бензиновых двигателей; d) эмбриологического развития; е) метеорологии; f) эндокринологии; g) экономики; h) поведения животных; i) космологии. (Точности в мелочах не требуется.)