ГЛАВА 3. Векторы

ВЕКТОРЫ 3/5. В предшествующих параграфах <состояние> машины рассматривалось как нечто известное в целом и не требующее более детального определения. Состояния такого типа особенно обычны для биологических систем, где, например, характерные позы, или выражения, или формы могут с уверенностью опознаваться без всякого анализа их компонентов. К этому типу относятся состояния, описанные Тинбергеном ( 3/1). Таковы же и типы облаков, опознаваемые метеорологом. Первые параграфы этой главы ясно показывают, что теория таких неанализируемых состояний может быть строгой.

Тем не менее системы часто имеют состояния, определение которых требует (по разnичным причинам) дальнейшего анализа. Так, предположим, что радиопередача должна дать нам отчет о <состоянии> (в определенный момент времени) проходящего сейчас марафонского бега. Для этого она должна сообщить положение каждого бегуна в данный момент времени., Множество этих положений определит <состояние> бега. Итак, состояние бега в целом задается разnичными состояниями (положениями) разnичных бегунов, взятыми одновременно. Такие <составные> состояния весьма обычны, и в дальнейшей части книги мы будем много ими заниматься. Следует заметить, что мы теперь начинаем рассматривать отношение между целым и его частями, особенно важное в теории машин. Итак, часто случается, что состояние целого задается перечнем состояний, принимаемых в этот момент его частями.

Такое состояние есть вектор, т. е. составной объект, имеющий определенное число компонентов, или составляющих. Удобно записывать его в виде (а1, а2,:аn); это означает, что первая составляющая имеет значение

Вектор есть по существу род переменной, но более сложный, чем обычные числовые переменные, встречающиеся в элементарной математике. * Он представляет собой естественное обобщение <переменной> и обладает исключительной важностью, особенно для вопросов, рассматриваемых в этой книге. Советуем читателю как можно больше освоиться с этим понятием, постоянно применяя его в повседневной жизни, пока оно не станет столь же привычным и понятным, как понятие переменной. Не будет преувеличением сказать, что от усвоения векторов во многом будет зависеть успешное овладение дальнейшим материалом книги.

Приведем некоторые общеизвестные примеры:

1)     <Положение> корабля в любой момент не может быть описано одним числом; необходимы два числа: широта и долгота. Таким образом, <положение> есть вектор с двумя составляющими. Например, одно положение корабля может задаваться вектором: (58° с. ш., 17° з. д.). А через 24 часа это положение может претерпеть переход: (58° с. ш., 17° з. д.)        (59° с. ш.,20° з. д.).

2)     <Погоду в Кью> нельзя определить одним числом, но ее можно определить с любой желаемой полнотой, если брать достаточное число составляющих. Некоторым приближением будет вектор: (высота барометра, температура, облачность, влажность воздуха); конкретное со-стояние может быть (998 миллибар, 56°,2 F, 8, 72%). Прогноз погоды точен, если мы можем правильно предсказать, каким состоянием сменится текущее состояние.

3)     Большинство заполняемых нами административных <форм> в действительности определяют некоторый вектор. Так, форма, заполняемая автомобилистом, имеет вид:
Возраст машины   :::::::::..
Мощность в л. С    :::::::::..     
Цвет::::::::::::::::     
Это есть попросту вертикально написанный вектор.

Два вектора считаются равными только в том случае, когда каждая составляющая одного равна соответствующей составляющей другого. Так, если имеется вектор (w, x, y, z), в котором каждая составляющая есть некоторое число, и если два конкретных вектора суть (4, 3, 8, 2) и (4, 3, 8, 1), то эти два вектора не равны, так как в четвертой составляющей 2 не равно 1. [Если векторы имеют различное число составляющих, как например векторы (4, 3, 8, 2) и (Г, Р), то они просто несравнимы.]

Преобразование вектора ничем не отличается от всякого другого преобразования; надо только помнить, что операндом здесь является вектор в целом, а не его индивидуальные составляющие (хотя описание изменений составляющих является, конечно, существенной частью определения преобразования вектора). Положим, например, что <система> состоит из двух монет, каждая из которых может показывать либо герб, либо решетку. Эта система имеет четыре состояния, а именно:
(Г, Г), (Г, Р), (Р, Г) и (Р, Р).

Предположим теперь, что моя маленькая племянница не любит видеть рядом два герба и всегда меняет их на (Р, Г), а также имеет ряд других предпочтений. Может получиться, что она действует всегда подобно преобразованию

Как преобразование с четырьмя элементами, N ничем не отличается от рассмотренных в предыдущих параграфах.
Нет никаких причин, почему бы преобразование множеств векторов не было совершенно произвольным; но в естественных науках преобразования нередко отличаются значительной простотой. Часто составляющие изменяются так, что их изменение может быть описано более или менее простым правилом. Так, преобразование

можно описать, сказав, что первая составляющая всегда изменяется, тогда как вторая остается неизменной.

Наконец, ничто из сказанного не исключает возможности, чтобы некоторые или все составляющие вектора сами были векторы! (См., например,  6/3.) Но мы будем стараться избегать таких усложнений.

Упр. 1. Используя последовательность трех букв АВС в качестве первого операнда, найдите преобразование, порождаемое повторным применением оператора <сдвинуть левую букву направо> (например, АВС > ВСА).

Упр. 2. (Продолжение.) Выразите преобразование через кинемати* ческий график.

Упр. 3. Используя вектор (1,-1) в качестве первого операнда, найдите остальные элементы, порождаемые повторным при-менением оператора <поменять местами оба числа и оказавшееся слева помножить на минус единицу>.

Упр. 4. (Продолжение.) Выразите преобразование через кинематический график.

Упр. 5. Первый операнд х есть вектор (0, 1, 1); оператор F определяется следующим образом:
I)      левое число образа равно среднему числу операнда;
II)     среднее число образа равно правому числу операнда;
III)    правое число образа равно сумме среднего и правого чисел операнда.
Таким образом, F(x) есть (1,1,2), есть (1,2,3). Найдите .
(Указание: см. упр. 2/14/9.)