ГЛАВА 2. Повторные изменения

2/11. Степень. Итак, мы исследовали основные свойства замкнутого однозначного преобразования, поскольку речь идет о его однократном действии. Однако такое преобразование может применяться не один раз, а многократно, порождая серию изменений. Эта серия аналогична серии изменений, через которую проходит действующая динамическая система. Теперь мы рассмотрим генезис и свойства такой серии.

Предположим, что второе преобразование из 2/3 (назовем его преобразованием <альфа>) было использовано для кодирования английского сообщения. Предположим, что закодированное сообщение снова кодируется с помощью преобразования <альфа>. Каков будет результат? Результат может быть прослежен буква за буквой. Так, при первом кодировании А превратилось в В, которое при втором кодировании превращается в С; следовательно, после двойной процедуры А превратится в С, или в обычной записи: Аналогично и так далее вплоть до Таким образом, двукратное применение преобразования <альфа> вызывает в точности те же изменения, что и однократное применение преобразования

Таким образом, из каждого замкнутого преобразования мы можем получить другое замкнутое преобразование, результат которого при однократном применении тождествен результату первого преобразования, примененного дважды. Второе преобразование называется <квадратом> первого и одной из его <степеней> ( 2/14). Если первое преобразование обозначено через Т, то второе будет обозначаться через Это обозначение пока следует рассматривать просто как ясный и удобный символ нового преобразования.

Упр. 1. Если

  Упр. 2. Напишите какое-нибудь тождественное преобразование; каков его квадрат?

Упр. 3. (См. упр. 2/4/3.) Каково ?

Упр. 4. Какое преобразование получится, если преобразование
n' = n + 1 применить дважды к положительным целым числам? Ответ напишите в сокращенной форме: n' = ... (Указание: попробуйте выписать преобразование полностью, как в 2/4.)

Упр. 5. Какое преобразование получится, если преобразование n' = 7n применить дважды к положительным целым числам?

Упр. 6. Если K есть преобразование

то каково ? Представьте результат в матричной форме. (Указание: попробуйте переписать К в какой-нибудь другой форме, а затем вернуться обратно.)

Упр. 7. Попробуйте применить дважды преобразование