9/6. Равновесие в цепи Маркова. Предположим теперь, что большое число таких насекомых живет в одном пруду и что поведение каждого из них независимо от поведения других. Если мы отойдем от пруда, отдельные насекомые постепенно исчезнут из вида и мы будем видеть только три больших облака, три популяции - одну на берегу, другую в воде и третью под камнями. Эти три популяции становятся теперь тремя количествами, которые могут изменяться во времени. Если в данный момент они будут равны соответственно  , то можно найти их значения  и т. д. через данный промежуток времени, рассмотрев поведение составляющих их отдельных насекомых.

Так, три четверти насекомых, находившихся в воде, перейдут в В и их число прибавится в dB, в то время как оставшаяся четверть прибавится к  dP.

Следовательно, после этого перехода новая популяция ,на берегу d'B будет равна .

Следовательно, в общем три наши популяции будут изменяться в соответствии с преобразованием (вектора с тремя составляющими).

Следует отметить как обстоятельство первостепенной важности что система

образованная тремя популяциями, детерминированна (если она достаточно велика, чтобы быть свободной от случайностей выбора), хотя поведение отдельных насекомых определяется лишь с некоторой вероятностью.

Чтобы проследить этот процесс во всех деталях, предположим, что мы начинаем эксперимент, помещая 100 насекомых под камни и наблюдая, что произойдет затем. Начальный вектор трех популяций (db, dw, dp) будет, следовательно, равен (0,0, 100). Какими будут эти числа на следующем шаге, зависит от капризов случайного выбора, ибо отнюдь не невозможно, чтобы все сто насекомых остались под камнями. Однако в среднем (т. е. если выводится среднее из повторных опытов со всей сотней) под камнями будет оставаться только около 12,5 насекомых, в то время как остальные перейдут на берег (также 12,5) и в воду (75). Таким образом, после первого шага наши популяции обнаружат изменение (0,0, 100) (12,5; 75; 12,5).

Этим способом можно шаг за шагом находить средние числа трех популяций, применяя процедуру из  3/6. Следующим состоянием окажется (60,9; 18,8; 20,3); траектория этой системы (с тремя - а не со ста - степенями свободы) показана на рис. 9/6/1.

Рис. 9/6/1.

Мы видим, что наши популяции, испытывая затухающие колебания, стремятся к состоянию равновесия (44,9; 42,9; 12,2), в котором система будет оставаться неограниченно долго. Под <системой> здесь понимаются, конечно, эти три переменные.

Следует заметить, что когда система устоялась и практически пришла к окончательным популяциям, появляется резкий контраст между популяциями, которые не изменяются, и насекомыми, которые беспрерывно движутся. Таким образом, с одним и тем же прудом могут быть связаны два совершенно различных смысла одного и того же слова <система>. (<Равновесие> здесь соответствует тому, что физик называет <установившимся режимом>.)

Легко вычислить равновесные значения цепи Маркова. При равновесии значения не изменяются, так что, скажем, d'Bвравно dB. Ввиду этого первая строка системы уравнений принимает вид

Также преобразуются остальные строки. Однако не все строки независимы, поскольку три популяции должны в этом примере давать в сумме 100; поэтому одна строка (любая) вычеркивается и заменяется строкой

Таким образом, система принимает, например, следующий вид:

Ее можно решить обычным путем. В этом примере равновесными значениями будут (44,9; 42,9; 12,2); как и было предсказано в  9/5, каждое отдельное насекомое не проводит много времени под камнями.

Упр. 1. Найдите последующие популяции, если в начальном состоянии все насекомые находятся на берегу.

Упр. 2. Проверьте равновесные значения.

Упр. 3. На грани х шестигранной кости спрятан грузик. Если положить кость в ящик гранью f кверху и встряхнуть, то вероятность того, что она ляжет гранью g кверху, окажется после продолжительных испытаний следующей:

На какой грани спрятан грузик? (Указание: будьте осторожнее!) 1

Упр. 4. Соединение АВ растворяется в воде. В каждый небольшой промежуток времени каждая молекула имеет вероятность диссоциировать, равную 1%, и каждая диссоциированная молекула А имеет вероятность вновь вступить в соединение, равную 0,1%. Какова матрица переходных вероятностей молекулы с двумя состояниями: <диссоциирована> - <не диссоциирована>? (Указание: можно ли пренебречь числом диссоциированных молекул В?)

Упр. 5. (Продолжение.) Каково равновесное значение степени диссоциации?

Упр. 6. Выпишите преобразования: (I) переходов отдельного насекомого и (II) переходов популяций 2. Как они относятся друг к другу?

Упр. 7. Сколько состояний обнаруживается в переходах насекомого? Сколько в системе популяций?

* Упр. 8. Пусть D - записанный в виде столбца вектор, составляющими которого служат популяции в различных состояниях; D' - этот же вектор шагом позже; М - матрица переходных вероятностей. Покажите, что в обычной матричной алгебре

(Это простое и естественное соотношение исчезает, если выписать матрицу в транспонированной, форме.)

1      Предполагается, что противоположные грани занумерованы соседними цифрами. - Прим. ред.

2      Здесь, как и в следующем упражнении, термин <популяция> означает вектор, составляющими которого служат три популяции (в обычном смысле) насекомых: на берегу, в воде, под камнями.- Прим. ред.