8/4. Декодирование. Общее изучение кодирования лучше всего начать с рассмотрения некоторых свойств военного кодирования.
С самого начала мы должны остерегаться слишком узкого понимания <кода>. Сначала мы склонны думать только о тех методах кодирования, которые переводят каждую букву сообщения в некоторую другую букву; но этот класс слишком, ограничен, ибо имеется много других методов. Так, код <Плэйфэйр> (Playfair) оперирует с па-рами букв, превращая каждую пару (вектор с двумя составляющими) в какую-нибудь другую пару. Есть коды, изменяющие расположение букв, тогда как другие коды совершенно произвольны и превращают, например, фразу: <Прибудут две дивизии>, - в условное слово <Артур>. Эти соображения ясно показывают, что если коди-рование есть преобразование, то операндом его является не буква, а скорее все сообщение (хотя не исключена и первая возможность). Следовательно, это преобразование имеет по существу вид

где M1, М2,...-различные сообщения, а С1, С2,...-их кодированные формы. Таким образом, кодирование задается некоторым преобразованием.

Часто при кодировании используется <ключевое слово> или какой-нибудь другой фактор, способный перевести код из одной формы в другую. Такой фактор, разумеется, соответствует параметру, давая столько конкретных кодирований (или преобразований) Uu U2, . сколько значений может принимать фактор.

<Декодирование> означает применение к закодированному сообщению Ci такого преобразования, которое восстановило бы первоначальное сообщение Мi:

Такое преобразование V называется обратным к U, или обращением преобразования U; поэтому его можно обозначить через Вообще говоря, только взаимно однозначные преобразования имеют однозначные обращения.

Если первоначальное сообщение Mi должно восстанавливаться из кодированной формы Ci при любом значении Z, то как U, так и должны быть взаимно однозначными. Ведь если бы и сообщение Mi, и сообщение Mj могли преобразовываться в одну и ту же форму Ск, то получатель сообщения Ск не мог бы сказать, какое из сообщений М было первоначально послано, и С не могло бы быть декодировано с уверенностью.

Предположим, далее, что некоторое множество сообщений, имеющее разнообразие v, кодируется посредством взаимно однозначного преобразования U. Разнообразие множества кодированных форм также будет v. Итак, при кодировании посредством взаимно однозначного преобразования разнообразие не изменяется.

Отсюда следует, что если сообщения с разнообразием v должны проходить через различные коды и если их первоначальные формы должны однозначно восстанавливаться, то процесс должен на каждой стадии сохранять разнообразие множества.

Упр. 1. Является ли взаимно однозначным кодированием преобразование

х' = log10x, применяемое к положительным числам?

Упр. 2. Является ли взаимно однозначным кодированием преобразование

х' = sin х, применяемое к положительным числам?

Упр. 3. Какое преобразование будет результатом применения сначала некоторого взаимно однозначного преобразования, а затем его обращения?

Упр. 4. Какое преобразование является обратным к n' = n + 7?

Упр. 5. Какое преобразование является обратным к х' = 2х + у.

Упр. 6. Если кодированная форма состоит из трех английских букв, например JNB, то чему равно разнообразие возможных кодированных форм (измеренное логарифмически)?

Упр. 7. (Продолжение.) Сколько различных сообщений можно послать посредством такого кода за один раз?

Упр. 8. В скачке участвует восейь лошадей, и телеграмма должна сообщить мистеру А., какая из них пришла первой, а какая - второй. Чему равно разнообразие множества возможных сообщений?

Упр. 9. (Продолжение.) Может ли это сообщение быть закодировано в форме одной буквы, напечатанной либо как заглавная, либо как строчная буква?

Упр. 10. <Высокая> или <низкая> концентрация полового гормона в крови данного животного определяет, совершит ли оно обычный ритуал <ухаживания>. Если половой гормон очень сложен химически, а процесс <ухаживания> очень сложен <этнологически> и если переменная <поведение> рассматривается как закодированная форма переменной <концентрация>, то как велико разнообразие множества сообщений?