8/11. Передача за один шаг. Рассмотрев, каким образом изменяется разнообразие в отдельном преобразователе, мы можем теперь рассмотреть, как оно передается от одной системы к другой, скажем от Т к U, где Т - абсолютная система, a U - преобразователь:

Как уже говорилось, мы принимаем, что существует множество копий, тождественных по конструкции (т. е. по преобразованию), но могущих быть в различных состояниях независимо друг от друга. Пусть в данный момент копии Т обладают некоторым разнообразием, и мы хотим знать, как скоро это разнообразие распространится на копии U. Предположим, что в данный момент копии Т занимают  разных состояний и копии U занимают  различных состояний. (Читателю будет легче усвоить нижеследующее доказательство, если он подберет какие- нибудь простые и удобные примеры системы Т и U, на которых ему можно будет проследить ход рассуждений.)

Система Т действует как параметр на U, и каждому состоянию системы Т будет соответствовать некоторый график системы U. Следовательно, множество копий U будет иметь столько графиков, сколько значений имеют копии Т, т. е. их будет nT. Это означает, что каждое U-состояние может дать до  nT различных переходов (представленных  различными графиками); т. е. из некоторого U-cостояния представляющая точка может перейти в любое из не более чем  U-состояний. Таким образом, множество копий U, все представляющие точки которого находятся в одном и том же состоянии, может под воздействием разнообразия копий Т превратиться в множество, представляющие точки которого разбросаны не более чем по nT состояниям. Существует  таких множеств копий U, и каждое из этих множеств может быть разбросано не более чем по  nT состояниям, так что общее рассеяние после одного шага не может превышать  nTnu состояний. Если разнообразия измеряются логарифмически, то разнообразие в U после одного шага не может превышать суммы первоначальных разнообразий в U и в Т. Другими словами, разнообразие копий U не может возрасти за один шаг больше, чем на величину разнообразия, существующего в копиях Т.

Таков основной закон передачи разнообразия от системы к системе. Он будет часто использоваться в дальнейшей части книги.

Упр, 1. Система имеет состояния   (t,u) и преобразование t'=2t, так что t доминирует над u. Восемь таких систем начинают работу соответственно с состояний (0,9), (2,5), (0,5), (1,9), (1,5), (2,5), (0,9), (1,9). Каково разнообразие множества t? Множества u?

Упр. 2. (Продолжение.) Найдите состояния после ближайшего следующего шага. Какое разнообразие имеют теперь t? Предскажите верхнюю границу разнообразия u. Каково разнообразие u теперь?

Упр. 3. В другой системе подсистема Т имеет две переменные t1 и t2 и подсистема U имеет две переменные u1 и u2 . Вся система имеет состояния (t1,t2,u1,u2) и преобразование, , так что Т доминирует над U. Три копии начинают с начальных состояний (0,0,0,1), (0,0,1,1) и (1,0,0,1). Каково разнообразие копий T? Каково разнообразие копий U?

Упр. 4. (Продолжение.) Найдите все три состояния через один шаг. Каково теперь разнообразие копий U?